Mathématiques : programme de 1re S

B.O. n°9 du 30 septembre 2010

 

Objectifs

  • mettre en oeuvre une recherche de façon autonome ;
  • mener des raisonnements ;
  • avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus ;
  • communiquer à l’écrit et à l’oral.

Programme

1. Analyse

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES

Second degré
Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux.
Équation du second degré, discriminant.
Signe du trinôme.

Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique.

Étude de fonctions
Fonctions de référence x → V¯x et x → /x/
Sens de variation des fonctions u + k, λu, V¯u, et 1/u, la fonction u étant connue, k étant une fonction constante et λ un réel.

Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique.
Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + × /
Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x → x, x → x2 et x → V¯x
Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples.

Dérivation
Nombre dérivé d’une fonction en un point.
Tangente à la courbe représentative d’une fonction dérivable en un point.
Fonction dérivée.
Dérivée des fonctions usuelles : x → V¯x x → 1/x, et x → xn
(n entier naturel non nul).
Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient.
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation.
Extremum d’une fonction.

Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.
Calculer la dérivée de fonctions.
Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités.

Suites
Modes de génération d’une suite numérique.
Suites arithmétiques et suites géométriques.
Sens de variation d’une suite numérique.
Approche de la notion de limite d’une suite à partir d’exemples.

Modéliser et étudier une situation à l’aide de suites.
Mettre en oeuvre des algorithmes permettant :
- d’obtenir une liste de termes d’une suite ;
- de calculer un terme de rang donné.
Établir et connaître les formules donnant
1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qn.
Exploiter une représentation graphique des termes d’une suite.

2. Géométrie

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES

Géométrie plane
Condition de colinéarité de deux vecteurs : xy’ - yx’ = 0
Vecteur directeur d’une droite.
Équation cartésienne d’une droite.
Expression d’un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires.

Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite.
Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point.
Déterminer un vecteur directeur d’une droite définie par une équation cartésienne.
Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes.

Trigonométrie
Cercle trigonométrique.
Radian.
Mesure d’un angle orienté, mesure principale.

Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique.
Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + × /
Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x → x, x → x2 et x → V¯x
Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples.

Produit scalaire dans le plan
Définition, propriétés.
Vecteur normal à une droite.
Applications du produit scalaire : calculs d’angles et de longueurs ;
formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes :
- projection orthogonale ;
- analytiquement ;
- à l’aide des normes et d’un angle ;
- à l’aide des normes.
Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d’un problème.
Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal.
Déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.
Déterminer une équation de cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.
Démontrer que : cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b

3. Statistiques et probabilités

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES

Statistique descriptive, analyse de données
Caractéristiques de dispersion : variance, écart-type.
Diagramme en boîte.

Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : (moyenne, écart-type) et (médiane, écart interquartile).
Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statistiques à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice.

Probabilités
Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance, variance et écart-type.
Modèle de la répétition d’expériences identiques et indépendantes à deux ou trois issues.
Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès).
Coefficients binomiaux, triangle de Pascal.
Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale.

Déterminer et exploiter la loi d’une variable aléatoire.
Interpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.
Utiliser cette représentation pour déterminer la loi d’une variable aléatoire associée à une telle situation.
Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.
Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.
Représenter graphiquement la loi binomiale
Utiliser l’espérance d’une loi binomiale dans des contextes variés.

Échantillonnage
Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d’une fréquence.

Exploiter l’intervalle de fluctuation à un seuil donné, déterminé à l’aide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion.

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