Mathématiques : programme de Tle S

BO HS n° 4 du 30 août 2001

Le programme prend en compte les évolutions de la discipline et différentes demandes qui sont l’expression des besoins mathématiques croissants de notre société.
Il est important de comprendre que les mathématiques, science du calcul, sont une école de rigueur qui exige une pensée claire. Il faut pour cela maintenir l’équilibre entre l’entraînement au calcul et la réflexion, également indispensables au progrès mathématique, et donc présenter, dans le cadre nécessairement modeste du programme, des démonstrations qui nourrissent cette réflexion.

Objectifs

Amener l'élève à :
- expliciter des raisonnements sans se limiter à quelques démarches stéréotypées ;
- voir clairement la différence entre ce qu’on établit et ce qui est provisoirement admis ;
- comprendre comment les mathématiques se construisent.

Enseignement obligatoire

I – Analyse

Objectifs du chapitre :

- l’extension du champ des suites et des fonctions vues en classe de première à quelques nouvelles fonctions classiques :
exponentielles, logarithmes, trigonométriques (telle la fonction tangente) ou faisant intervenir des radicaux ;
- l’initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles.

• Limites de suites et de fonctions

- Rappel de la définition de la limite d’une suite. Extension à la limite finie ou infinie d’une fonction en + ou – .
- Notion de limite finie ou infinie d’une fonction en un réel a.
- Théorème « des gendarmes » pour les fonctions.
- Limites de la somme, du produit, du quotient de deux suites ou de deux fonctions ; limite de la composée de deux fonctions, de la composée d’une suite et d’une fonction.

• Langage de la continuité et tableau de variations

- Continuité en un point a.
- Continuité d’une fonction sur un intervalle.
- Théorème (dit des valeurs intermédiaires): « Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. »

• Dérivation

- Rappels sur les règles de dérivation et sur le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction.
- Application à l’étude de la fonction tangente.
- Dérivation d’une fonction composée.

• Introduction de la fonction exponentielle

- Étude de l’équation f’ = kf.
- Théorème : « Il existe une unique fonction f dérivable sur IR telle que f’= f et f(0) = 1. »
- Relation fonctionnelle caractéristique.
- Introduction du nombre e. Notation ex.
- Extension du théorème pour l’équation f’ = kf.

• Étude des fonctions logarithmes et exponentielles

- Fonction logarithme népérien ; notation ln.
- Équation fonctionnelle caractéristique.
- Dérivée ; comportement asymptotique.
- Fonctions x | ax pour a > 0.
- Comportement asymptotique ; allure des courbes représentatives.
- Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances entières et logarithme.
- Fonction racine n-ième.

• Suites et récurrence

- Raisonnement par récurrence
- Suite monotone, majorée, minorée, bornée.
- Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes.
- Théorème de convergence des suites croissantes majorées.

• Intégration

- Pour une fonction f continue positive sur [a ; b], introduction de la notation comme aire sous la courbe.
- Valeur moyenne d’une telle fonction.
- Extension à l’intégrale et à la valeur moyenne d’une fonction de signe quelconque.
- Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles.
- Inégalité de la moyenne.

• Intégration et dérivation

- Notion de primitive.
- Théorème : « Si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F telle que est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a. »
- Calcul de à l’aide d’une primitive de f.
- Intégration par parties.

Équations différentielles y’ = ay + b.

II – Géométrie

• Géométrie plane : nombres complexes

- Le plan complexe : affixe d’un point ; parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe. Conjugué d’un nombre complexe.
- Somme, produit, quotient de nombres complexes.
- Module et argument d’un nombre complexe; module et argument d’un produit, d’un quotient.
- Écriture ei = cos+ i sin.
- Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels.
- Interprétation géométrique de z | z’.
- avec z’= z + b ou z’ – w = k(z – w) avec k réel non nul, ou z’– w = ei(z – w).

• Produit scalaire dans l’espace

- Rappels sur le produit scalaire dans le plan.
- Définition du produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Propriétés, expression en repère orthonormal.

• Droites et plans dans l’espace

- Caractérisation barycentrique d’une droite, d’un plan, d’un segment, d’un triangle.
- Représentation paramétrique d’une droite de l’espace.
- Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans. Discussion géométrique ; discussion algébrique.

III – Probabilités et statistiques

• Conditionnement et indépendance

- Conditionnement par un événement de probabilité non nulle puis indépendance de deux événements.
- Indépendance de deux variables aléatoires.
- Formule des probabilités totales.

Statistique et modélisation

- Expériences indépendantes.
- Cas de la répétition d’expériences identiques et indépendantes.

• Lois de probabilité

Exemples de lois discrètes
- Introduction des combinaisons, notées.
- Formule du binôme.
- Loi de Bernoulli, loi binomiale; espérance et variance de ces lois.

Exemples de lois continues

Lois continues à densité :
- loi uniforme sur [0,1] ;
- loi de durée de vie sans vieillissement.

Statistique et simulation

Enseignement de spécialité

• Arithmétique

- Divisibilité dans Z.
- Division euclidienne. Algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD.
- Congruences dans Z.
- Entiers premiers entre eux.
- Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.
- PPCM.
- Théorème de Bezout.
- Théorème de Gauss.

• Similitudes planes

- Définition géométrique. Cas des isométries.
- Caractérisation complexe : toute similitude a une écriture complexe de la forme z | az + b ou z | a + b (a non nul).
- Étude des similitudes directes

• Sections planes de surfaces